【期中復(fù)習(xí)】2023-2024學(xué)年（滬教版2020選修）高二數(shù)學(xué)下冊(cè)專(zhuān)題2-1圓的方程-考點(diǎn)歸納講練.zip

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知識(shí)點(diǎn)1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
(1)圓的定義：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，定點(diǎn)稱(chēng)為圓心，定長(zhǎng)稱(chēng)為圓的半徑．
(2)確定圓的基本要素是圓心和半徑，如圖所示．
(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a，b)，半徑長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
當(dāng)a＝b＝0時(shí)，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點(diǎn)O為圓心、半徑為r的圓．
思考：平面內(nèi)確定圓的要素是什么？
[提示] 圓心坐標(biāo)和半徑．
知識(shí)點(diǎn)2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圓心為C(a，b)，半徑為r，點(diǎn)P(x0，y0)，設(shè)d＝|PC|＝eq \r(?x0－a?2＋?y0－b?2).
知識(shí)點(diǎn)3.圓的一般方程
(1)圓的一般方程的概念
當(dāng)D2＋E2－4F＞0時(shí)，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程．
其中圓心為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，圓的半徑為r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F).
(2)對(duì)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的討論
①D2＋E2－4F＞0時(shí)表示圓．
②D2＋E2－4F＝0時(shí)表示點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).
③D2＋E2－4F＜0時(shí)，不表示任何圖形．
思考：方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件是什么？
[提示] A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4F＞0.
題型一：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
1.判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的方法
(1)只需計(jì)算該點(diǎn)與圓的圓心距離，與半徑作比較即可；
(2)把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的符號(hào)，并作出判斷．
2．靈活運(yùn)用
若已知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，也可利用以上兩種方法列出不等式或方程，求解參數(shù)范圍．
1．（2023秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）若點(diǎn)在圓內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
2．（2022秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）已知點(diǎn)在圓外，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．
C．，，D．，，
3.已知圓心為點(diǎn)C(－3，－4)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圓的位置關(guān)系．
4.已知圓的圓心M是直線2x＋y－1＝0與直線x－2y＋2＝0的交點(diǎn)，且圓過(guò)點(diǎn)P(－5,6)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？
題型二：求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)幾何法
它是利用圖形的幾何性質(zhì)，如圓的性質(zhì)等，直接求出圓的圓心和半徑，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)待定系數(shù)法
由三個(gè)獨(dú)立條件得到三個(gè)方程，解方程組以得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中三個(gè)參數(shù)，從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．它是求圓的方程最常用的方法，一般步驟是：
①設(shè)—設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②列—由已知條件，建立關(guān)于a，b，r的方程組；
③解—解方程組，求出a，b，r；
④代—將a，b，r代入所設(shè)方程，得所求圓的方程．
1．（22·23高二上·上海浦東新·期末）以點(diǎn)為圓心，且與軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
2．（23·24高二上·上海·期末）已知、，則以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
3．（23·24高二上·上海青浦·階段練習(xí)）已知圓心為，半徑，寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ．
4．（22·23高二下·上海崇明·期末）已知兩點(diǎn)、，則以PQ為直徑的圓的方程是 .
5．（23·24高二上·上?！るA段練習(xí)）以為直徑端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
6．已知某圓圓心在x軸上，半徑為5，且截y軸所得線段長(zhǎng)為8，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
7.求過(guò)點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
8．（22·23高二下·上海靜安·期末）如圖是一座類(lèi)似于上海盧浦大橋的圓拱橋示意圖，該圓弧拱跨度為，圓拱的最高點(diǎn)離水面的高度為，橋面離水面的高度為.

(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求圓拱所在圓的方程；
(2)求橋面在圓拱內(nèi)部分的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到）
題型三：與圓有關(guān)的最值問(wèn)題
與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解法
(1)形如u＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為過(guò)點(diǎn)(x, y)和(a, b)的動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線y＝－eq \f(a,b) x＋eq \f(l,b)截距的最值問(wèn)題．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)(x, y)到定點(diǎn)(a, b)的距離的平方的最值問(wèn)題．
1．（23·24高二上·上海·期末）已知為圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為 .
2．（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是
A．B．C．D．
3.已知x和y滿足(x＋1)2＋y2＝eq \f(1,4)，試求x2＋y2的最值．
題型四：圓的一般方程的認(rèn)識(shí)
1．（22·23高二上·上海浦東新·期末）已知方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23·24高二上·上海浦東新·期中）方程表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
3．（23·24高二上·上?！て谀┓匠瘫硎疽粋€(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
4．（20·21高二上·上海楊浦·期末）圓的方程為，則該圓的半徑為 ．
5．（23·24高二上·上?！ふn時(shí)練習(xí)）討論方程（為任意實(shí)數(shù)）所表示的曲線．
6．下列方程能否表示圓？若能表示圓，求出圓心和半徑．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
題型五：求圓的一般方程
確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a，b，r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心(a，b)和半徑r，一般步驟為：
(1)根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x―a)2＋(y―b)2＝r2(r＞0)；
(2)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a，b，r的方程組；
(3)解方程組，求出a，b，r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．
1．（20·21高二上·上海浦東新·期中）已知三角形的三邊所在直線為，，，則三角形的外接圓方程為
2．（23·24高二上·上海·課時(shí)練習(xí)）求經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)的圓的方程．
3.已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑長(zhǎng)為eq \r(2)，求圓的一般方程．
4．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圓P的方程．
5.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圓方程、外心坐標(biāo)和外接圓半徑．
題型六：與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
1．直接法求軌跡方程的一般步驟
(1)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M 的坐標(biāo)(x，y)；
(2)列出點(diǎn)M 滿足條件的集合；
(3)用坐標(biāo)表示上述條件，列出方程；
(4)將上述方程化簡(jiǎn)；
(5)證明化簡(jiǎn)后的以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是軌跡上的點(diǎn)．
2．代入法求軌跡方程的一般步驟
(1)建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)；
(2)建立x，y與相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)x0，y0的方程；
(3)用x，y表示x0，y0；
(4)把(x0，y0)代入到相關(guān)點(diǎn)滿足的方程；
(5)化簡(jiǎn)方程為最簡(jiǎn)形式．
1．（21·22高二上·上海奉賢·階段練習(xí)）直角坐標(biāo)平面中，若定點(diǎn)A（1，2）與動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程是 .
2．（23·24高二上·上海青浦·階段練習(xí)）已知兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是它到點(diǎn)B的距離的3倍，則點(diǎn)P的軌跡方程是 ．
3．（23·24高二上·上?！ふn時(shí)練習(xí)）從定點(diǎn)向圓任意引一條割線交圓于、兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)的軌跡．
4．（23·24高二上·上海·課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)、是距離為4的兩個(gè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．
5.點(diǎn)A(2,0)是圓x2＋y2＝4上的定點(diǎn)，點(diǎn)B(1,1)是圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ的中點(diǎn)N的軌跡方程．
一、填空題
1．（2023春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）過(guò)點(diǎn)與半徑最小的圓的方程為
2．（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期末）以點(diǎn)為圓心，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的圓的方程為 ．
3．（2023春?崇明區(qū)期末）已知兩點(diǎn)、，則以為直徑的圓的方程是 ．
4．（2023春?楊浦區(qū)期末）以為圓心，且經(jīng)過(guò)的圓的方程是 ．
5．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)月考）圓的半徑為 ．
6．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）若，求圓心坐標(biāo)為 ．
7．（2023春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）圓的圓心坐標(biāo)是 ．
8．（2023春?寶山區(qū)期末）若表示圓，則實(shí)數(shù)的值為 ．
9．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)月考）對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過(guò)定點(diǎn)，則其坐標(biāo)為 ．
二、選擇題
10．（2023春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）已知一個(gè)圓的方程滿足：圓心在點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)原點(diǎn)，則它的方程為
A．B．
C．D．
11．（22·23高二下·上海黃浦·期中）已知集合.由集合中所有的點(diǎn)組成的圖形如圖中陰影部分所示，中間白色部分形如水滴.給出下列結(jié)論：

①“水滴”圖形與軸相交，最高點(diǎn)記作，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②陰影部分與軸相交，最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別記作和，則；
③在陰影部分中任取一點(diǎn)，則的最大距離為3；
④“水滴”圖形的面積是.
其中正確的有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
三、解答題
12．（2022秋?重慶期末）在平面直角坐標(biāo)系中，，，．
（1）求的面積；
（2）判斷，，，四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？并說(shuō)明理由．
13．（2023春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）已知一圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
14．（22·23高二下·上海徐匯·期中）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)P及線段l，Q是線段l上的任意一點(diǎn)，線段長(zhǎng)度的最小值稱(chēng)為“點(diǎn)P到線段l的距離”，記為．
(1)設(shè)點(diǎn)，線段，求；
(2)設(shè)l是長(zhǎng)為2的線段，求點(diǎn)的集合所表示的圖形面積．
位置關(guān)系
d與r的大小
圖示
點(diǎn)P的坐標(biāo)的特點(diǎn)
點(diǎn)在圓外
d＞r
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
點(diǎn)在圓上
d＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
點(diǎn)在圓內(nèi)
d＜r
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2