3.2-3.3 勾股定理的逆定理與簡(jiǎn)單應(yīng)用-（暑假高效預(yù)習(xí)）2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)同步導(dǎo)與練（蘇科版）

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1.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了勾股定理，回顧一下勾股定理的內(nèi)容。

2.如果一個(gè)三角形的兩條邊的平方和等于第三步的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？
如圖，在▲ABC中a2+b2=c2，▲ABC是否為直角三角形？
因此，如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，這個(gè)稱為勾股定理的 。

根據(jù)三邊長(zhǎng)度，判斷下面的三角形形狀。
（1）3，4，3；
（2）3，4，5；
（3）3，4，6；
（4）5，12，13．
銳角三角形：
直角三角形：
鈍角三角形：
滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)， 稱為 .
4.根據(jù)勾股定理填寫表格。
所以在求勾股定理的時(shí)候，還可以用比例解。
5.若△ABC的兩邊長(zhǎng)為3和4，則能使△ABC為直角三角形的第三邊的平方是（ ）
A，5； B．7； C．5或7； D．8．
6.勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用
一株荷葉高出水面米，一陣風(fēng)吹來(lái)，荷葉被吹得貼著水面，這時(shí)它偏離原來(lái)的位置有米遠(yuǎn)，如圖所示，求荷葉的高度和水面的深度．

解決應(yīng)用的方法： 。
【解惑】
例1：下列長(zhǎng)度的四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．，2，C．4，5，6D．8，15，19
例2：如圖，小賢家的矩形木門左下角有一點(diǎn)受潮，他想檢測(cè)門是否變形，準(zhǔn)備采用如下方法：先測(cè)量門的邊和的長(zhǎng)，再測(cè)量點(diǎn)A和點(diǎn)C間的距離，由此可推斷是否為直角，這樣做的依據(jù)是（ ）
A．勾股定理的逆定理B．兩銳角互余的三角形是直角三角形
C．三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形D．對(duì)角線相等的四邊形是矩形
例3：如圖，一個(gè)梯子長(zhǎng)米，頂端A靠在墻上，這時(shí)梯子下端B與墻角C距離為米，梯子滑動(dòng)后停在的位置上，測(cè)得長(zhǎng)為米，求梯子頂端A下落了（ ）
A．米B．米C．米D．米
例4：如圖，某中學(xué)有一塊四邊形的空地，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量，，，，，則這塊四邊形空地的面積為_________．
例5：若的三邊滿足條件，試判斷的形狀．
【摩拳擦掌】
1．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）如圖，一架長(zhǎng)為的梯子斜靠在豎直的墻上，梯子的底端（點(diǎn)A）距墻角（點(diǎn)C）為．若梯子的底端水平向外滑動(dòng)，梯子的頂端（點(diǎn)B）向下滑動(dòng)多少米？若設(shè)梯子的頂端向下滑動(dòng)x米，則根據(jù)題意可列方程為（ ）

A．B．
C．D．
2．（2023春·新疆阿勒泰·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一棵大樹被大風(fēng)刮斷后，折斷處離地面，樹的頂端離樹根，則這棵樹在折斷之前的高度是（ ）
A．18 B．16 C．14 D．24
3．（2023春·湖北黃岡·八年級(jí)統(tǒng)考期中）中，、、的對(duì)邊分別為、、，下列條件中，不能判斷是直角三角形的是（ ）
A．B．C．，，D．
4.（2023春·北京海淀·八年級(jí)北京二十中?？计谥校┮桓褡痈?尺，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處．則折斷處離地面的高度是__________尺．
5．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┰谥?，，則的面積等于___________．
6．（2023春·河南鄭州·八年級(jí)校考期中）如圖，在筆直的鐵路上A，B兩點(diǎn)相距，C、D為兩村莊，，，于點(diǎn)A，于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，求______km．
7．（2023春·內(nèi)蒙古通遼·八年級(jí)校考期中）如圖，將一根長(zhǎng)的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度是，則h的取值范圍是________．
8．（2023春·廣東云浮·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，長(zhǎng)為5，點(diǎn)D是上的一點(diǎn)，，．
(1)求證：為直角三角形；
(2)求出線段的長(zhǎng)．
9．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)合肥38中?？计谥校┤鐖D，《九章算術(shù)》中記載：今有立木，系索其末，委地三尺，引素卻行，去本八尺而索盡，問(wèn)素長(zhǎng)幾何?譯文：今有一整直著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱的上端順木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（繩子比木柱長(zhǎng)3尺），牽著繩索退行，在距木柱底部8尺處時(shí)而繩索用盡，求木柱的長(zhǎng)．
10．（2023春·河南濮陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在右墻上，測(cè)得梯子頂端距離地面2米，即米，梯子底端距右墻底端米，即米，梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在左墻時(shí)，頂端距離地面米，即米，則小巷的寬度為多少米？
【知不足】
1．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)校聯(lián)考期中）三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則下面四種情況中，不能判斷此三角形為直角三角形的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
2．（2022秋·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，將三角形紙片沿折疊，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，則的周長(zhǎng)為（ ）

A．3B．4C．5D．6
3．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，，則的值為（ ）
A．B．C．D．4
4．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）在筆直的鐵路上、兩點(diǎn)相距，、為兩村莊，，，于，于，現(xiàn)要在上建一個(gè)中轉(zhuǎn)站，使得、兩村到站的距離相等．則應(yīng)建在距________？
5．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人入迷．如圖，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時(shí)（即水平距離），踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長(zhǎng)是 _______ ．
6．（2022春·廣東中山·八年級(jí)中山一中?？计谥校┤鐖D，有一個(gè)長(zhǎng)方體池子，底面是邊長(zhǎng)為丈（1丈＝10尺）的正方形，中間有蘆葦，把高出水面2尺的蘆葦拉向池邊（蘆葦沒有折斷），剛好貼在池邊上，則蘆葦長(zhǎng)_____________尺．

7．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┮患芊教蓍L(zhǎng)米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻長(zhǎng)米，如果梯子的頂端下滑米至，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？

8．（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示的一塊地，已知，求陰影部分的面積．

9．（2023春·廣東惠州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，于D， ，

(1)求的值．
(2)判斷的形狀，并說(shuō)明理由．
【一覽眾山小】
1．（2023春·廣東湛江·八年級(jí)?？计谥校┧膫€(gè)三角形的邊長(zhǎng)分別是①2，3，4；②3，4，5；③5，6，7；④5，12，13．其中直角三角形是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．③④
2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，記載著“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何?”意思是：一根筆直生長(zhǎng)的竹子，高一丈（一丈=10尺），因蟲害有病，一陣風(fēng)吹來(lái)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，求折斷處離地面的高度是多少尺?設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是樓梯的示意圖，樓梯的寬為5米，米，米，若在樓梯上鋪設(shè)防滑材料，則所需防滑材料的面積至少為（ ）
A．65B．85C．90D．150
4．（2023春·廣東河源·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）一個(gè)圓柱形的高是，底面圓的周長(zhǎng)，螞蟻想從處爬到處，則螞蟻爬行最短距離是___________．
5．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）已知兩條線段的長(zhǎng)為5和4，當(dāng)?shù)谌龡l線段的長(zhǎng)的平方為________時(shí)，這三條線段能組成一個(gè)直角三角形．
6．（2022春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，以的兩邊、分別向外作正方形，它們的面積分別是，，若，，，則的形狀是________三角形．
7．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖， 的頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則的度數(shù)等于___________．

8．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時(shí)分別航行12海里和16海里，1小時(shí)后兩船分別位于點(diǎn)A，B處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西方向航行，則乙船沿______方向航行．
9．（2023·江西九江·?？寄M預(yù)測(cè)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一道題目，大致意思是：有一豎立著的木桿，在木桿的上端系有繩索，繩索從木桿上端順著木桿下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牽著繩索頭（繩索頭與地面接觸）退行，在離木桿底部8尺處時(shí)，繩索用盡．問(wèn)繩索長(zhǎng)為多少．繩索長(zhǎng)為_______尺．
10．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，鐵路和公路在點(diǎn)處交匯，，公路上處距離點(diǎn)240米，如果火車行駛時(shí)，火車頭周圍150米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以72千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)，處受到噪音影響的時(shí)間為________秒.
11．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處所走的最短路程為___________．（杯壁厚度不計(jì)）

12．（2022秋·廣東茂名·八年級(jí)校考期中）如圖，已知等腰三角形的底邊，D是腰長(zhǎng)延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且．

(1)判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
(2)求的周長(zhǎng)．
13．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：
利用公式法，可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做多項(xiàng)式的配方法，運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，例如：
根據(jù)以上材料，解答下列問(wèn)題：
(1)仿照材料的方法，分解因式：；
(2)求多項(xiàng)式的最小值；
(3)已知，，是的三邊長(zhǎng)，且滿足，請(qǐng)判斷的形狀．
14．（2023春·黑龍江鶴崗·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，M是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，以為邊作，且，連接．

(1)猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)若，連接，求證：
15．（2023春·廣東梅州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，，，，．求圖中著色部分的面積．
a
3
6
9
…
b
4
8
16
…
4n
c
5
15
20
…
5n